設(shè)橢圓E：(a，b＞0)過(guò)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)因?yàn)闄E圓E：(a，b>0)過(guò)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，

　　所以解得所以橢圓E的方程為

　　(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為，

　　解方程組得，即，

　　則△＝，即

　　

　　

　　要使，需使，即，所以

　　，

　　所以又，

　　所以，所以，即或，

　　因?yàn)橹本�(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn)，

　　所以圓的半徑為，，，

　　所求的圓為，此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或，

　　而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足，

　　綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4164/0022/56844266da3285a80b2e090edce643cc/C/Image121.gif" width=126 HEIGHT=88>，

　　所以，

　　

　　，

　　①當(dāng)時(shí)

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4164/0022/56844266da3285a80b2e090edce643cc/C/Image143.gif" width=105 height=41>所以，

　　所以，

　　所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”．

　�、�時(shí)，．

　　③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或，

　　所以此時(shí)，

　　綜上，|AB|的取值范圍為．即：


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