Question

（2012•道里區(qū)三模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足Sn=n2an-n2(n-1)，且a1=

1

2

．
（1）令bn=

n+1

n

Sn，確定b_n與b_n-1（n≥2）的關(guān)系；
（2）求{a_n}的通項．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n2(n-1)，且a1=

1

2

，用迭代法能求出（n²-1）S_n=n2Sn-1+n2(n-1)，再由bn=

n+1

n

Sn，能確定b_n與b_n-1（n≥2）的關(guān)系．
（2）由（1）知b_n-b₁=n+（n-1）+…+2=

n(n+1)

2

-1，故bn=

n(n+1)

2

，由此求出S_n，從而能求出{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵Sn=n2an-n2(n-1)，且a1=

1

2

，
∴當n≥2時，有a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn=n2(Sn-Sn-1)-n²（n-1），
即（n²-1）S_n=n2Sn-1+n2(n-1)，
∵bn=

n+1

n

Sn，∴Sn=

n

n+1

bn，
從而b_n-b_n-1=n．
（2）由（1）知
b_n-b₁=n+（n-1）+…+2=

n(n+1)

2

-1，
b₁=2S₁=1，
∴bn=

n(n+1)

2

，
∴Sn=

n

n+1

•bn=

n

n+1

•

n(n+1)

2

=

n2

2

，
∴a1=S1=

1

2

，
a_n=S_n-S_n-1=

n2

2

-

(n-1)2

2

=

2n-1

2

，
當n=1時，

2n-1

2

=

1

2

，
故an=

2n-1

2

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和等價轉(zhuǎn)化思想的靈活運用．