Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t（t∈R，且t≠0，1），a₂=t²，且當(dāng)x=t時(shí)，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得極值?
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=a_nln|a_n|（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列{b_n}中是否存在最大項(xiàng)？如果存在，說明是第幾項(xiàng)；如果不存在，請說明理由?

Answer 1

解：（1）由f'（t）=0，
得（a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）
又a₂-a₁=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a₂-a₁≠0，
∴
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為t²-t，公比為t的等比數(shù)列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=tⁿ⁺¹-tⁿ，
∴a_n-a_n-1=tⁿ-t^n-1，
∴a_n-1-a_n-2=t^n-1-t^n-2，
…
a₂-a₁=t²-t，
上面n-1個(gè)等式相等并整理得a_n=tⁿ．（t≠0且t≠1）
b_n=a_nln|a_n|=tⁿ•ln|tⁿ|=ntⁿ•ln|t|．
∴S_n=（t+2•t²+3•t³++n•tⁿ）ln|t|，
tS_n=[t²+2•t³++（n-1）tⁿ+n•tⁿ⁺¹]ln|t|，
兩式相減，并整理得
（3）∵
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=ntⁿln|t|＜0；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=ntⁿln|t|＞0，∴最大項(xiàng)必須為奇數(shù)項(xiàng)
設(shè)最大項(xiàng)為：b_2k+1，則有
即：
整理得
將代入上式，解得
∵k∈N⁺
∴k=2，即數(shù)列{b_n}中的最大項(xiàng)是第5項(xiàng)
分析：（1）根據(jù)當(dāng)x=t時(shí)，f（x）=（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得極值，求導(dǎo)，得到f'（t）=0，即a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）整理可證；
（2）由（1），利用累加法即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）根據(jù)（2）去絕對值符號(hào)，對n分奇偶討論，解不等式組即可證明結(jié)果．
點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，體現(xiàn)了分類討論的思想．其中問題（3）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．