Question

如圖，AB是圓O的直徑，C是半徑OB的中點(diǎn)，D是OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=OB，直線MD與圓O相交于點(diǎn)M、T（不與A、B重合），DN與圓O相切于點(diǎn)N，連接MC，MB，OT．
（Ⅰ）求證：DT•DM=DO•DC；
（Ⅱ）若∠DOT=60°，試求∠BMC的大小．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理可得DT•DM=DB•DA，結(jié)合題中中點(diǎn)條件利用半徑作為中間量進(jìn)行代換，即可得證；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論證得△DTO∽△DCM，得到兩個(gè)角∠DOT、∠DMC相等，結(jié)合圓周角定理即可求得∠BMC．

解答：證明：（1）因MD與圓O相交于點(diǎn)T，
由切割線定理DN²=DT•DM，DN²=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，設(shè)半徑OB=r（r＞0），
因BD=OB，且BC=OC=

r

2

，
則DB•DA=r•3r=3r²，DO•DC=2r•

3r

2

=3r2，
所以DT•DM=DO•DC．
（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，
且∠TDO=∠CDM，
故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；
根據(jù)圓周角定理得，∠DOT=2∠DMB，則∠BMC=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、圓中的切割線定理以及相似三角形，屬于基礎(chǔ)題．