Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n+1=

n+2

n

a_n，（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜測通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用已知條件通過n=1，2，3即可求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）a₁，a₂，a₃，a₄；猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，利用用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟在證明即可．

解答： 解：（1）由a₁=2，a_n+1=

n+2

n

a_n，（n∈N^*）．
所以a₂=

1+2

1

×2=6，…（2分）
同理a₃=

2+2

2

×6=12，a₄=

3+2

3

×12=20…（4分）
（2）猜想a_n=n（n+1）…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時，猜想成立．…（7分）
②設(shè)當(dāng)n=k時（n∈N^*）時，猜想成立，即a_k=k（k+1），…（8分）
則當(dāng)n=k+1時，有a_k+1=

k+2

k

•ak=

k+2

k

•k(k+1)=（k+1）（k+2），…（12分）
所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立
綜合①②，猜想對任何n∈N^*都成立      …（14分）

點評：本題考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟的應(yīng)用，考查計算能力與邏輯推理能力．