Question

已知a，b∈N₊，拋物線f（x）=ax²+bx+1與x軸有兩個不同交點，且兩交點到原點的距離均小于1，則a+b的最小值為______．

Answer 1

由題意可得：∵a，b都是正整數(shù)，
∴-

b

2a

＜0，

1

a

＞0，
∵拋物線y=ax²+bx+l與x軸有兩個不同的交點A、B，
且A、B到原點的距離都小于1，則點A，B兩點在0和-1之間，于是，a，b同時滿足

△=b2-4ac＞0 a-b+1＞0 -1＜- b 2a ＜0

，即

a＜ b2 4 a＞b-1 a＞ b 2

，①
①當

b

2

≥b-1，即b≤2時，有

b2

4

≤1，又a＜

b2

4

與a是正整數(shù)矛盾，
故

b

2

＜b-1，即b＞2，若b-1≥

b2

4

，有（b-2）²≤0，則b-1＜

b2

4

，
不等式組①的解為：b-1＜a＜

b2

4

，
若b-1＜a，而a，b都是正整數(shù)，取最小的a，令a=b，則a＜

a2

4

，
解得：a＞4，
所以a取最小的數(shù)值為5．故a+b的最小值等于10．
故答案為10．