Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[-1，1]（其圖象如圖所示），函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定義：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）時(shí)，稱x₂是方程f（g（x））=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根．則方程f（g（x））=0的所有不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是

8

．

Answer 1

分析：通過圖象可知方程f（x）=0數(shù)有4個(gè)非零實(shí)數(shù)解，g（x）=sinx，x∈[-π，π]，當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）即f[g（x）]=0根的個(gè)數(shù)推出正確結(jié)論．

解答：解：當(dāng)f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=0即f[g（x）]=0
通過圖象可知方程f（x）=0有4個(gè)非零實(shí)數(shù)解，分別設(shè)為t1，t2，t3，t4，
∵函數(shù)g（x）=sinx，x∈[-π，π]，∴g（x）∈[-1，1]，
∴令g（x）分別為t₁，t₂，t₃，t₄時(shí)都有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，
因此方程f（g（x））=0的所有不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是8個(gè)，
故答案為：8

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的圖象，考查邏輯思維能力，是中檔題．