12.在銳角△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且cos(B+C)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A.
(1)求A;
(2)設(shè)a=7,b=5,求△ABC的面積.

分析 (1)由已知式子可得sinA,由銳角三角形可得;
(2)由正弦定理可得sinB,進(jìn)而可得cosB,再由和差角的三角函數(shù)可得sinC,代入面積公式可得.

解答 解:(1)∵在銳角△ABC中cos(B+C)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin2A,
∴-cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$•2sinAcosA,
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,A=$\frac{π}{3}$;
(2)由正弦定理可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$,
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{11}{14}$+$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×7×5×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理,涉及三角形的面積公式以及和差角的三角函數(shù)公式,屬中檔題.

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