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已知函數f(x)=(x2﹣3x+3)ex,x∈[﹣2,t](t>﹣2)

(1)當t<l時,求函數f(x)的單調區(qū)間;

(2)比較f(﹣2)與f (t)的大小,并加以證明;

(3)當函數自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同時,這樣的區(qū)間稱為函數的保值區(qū)間,設g(x)=f(x)+(x﹣2)ex,試問函數g(x)在(1,+∞)上是否存在保值區(qū)間?若存在,請求出一個保值區(qū)間;若不存在,請說明理由.

解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2﹣3x+3)ex,x∈[﹣2,t](t>﹣2),

∴f′(x)=(2x﹣3)ex+ex(x2﹣3x+3)=exx(x﹣1).

①當﹣2<t≤0時,x∈(﹣2,t),f′(x)>0,f(x)單調遞增.

②當0<t<1時,x∈(﹣2,0),f′(x)>0,f(x)單調遞增.

x∈(0,t),f′(x)<0,f(x)單調遞減.

綜上所述,當﹣2<t≤0時,y=f(x)單調遞增區(qū)間為(﹣2,t);

當0<t<1時,y=f(x)單調遞增區(qū)間為(﹣2,0),減區(qū)間為(0,t).

(Ⅱ)f(t)>f(﹣2).

證明:令m=f(﹣2),n=f(t),則m=13e﹣2,n=(t2﹣3t+3)et,

設h(t)=n﹣m=(t2﹣3t+3)et﹣13e﹣2

∴h′(t)=(2t﹣3)et+et(t2﹣3t+3)

=ett(t﹣1),(t>﹣2).

h(t),h′(t)隨t變化如下表:

由上表知h(t)的極小值為h(1)=e﹣=>0.

又h(﹣2)=0,

∴當t>﹣2時,h(t)>h(﹣2)>0,即h(t)>0.

因此,n﹣m>0,即n>m,

所以f(t)>f(﹣2).

φ(x),φ′(x)隨x的變化如下表:

由上表知,φ(x0)<φ(1)=﹣1<0,

φ(2)=e2﹣2>0,

故y=φ(x)的大致圖象如圖,

因此φ(x)在(1,+∞)只能有一個零點,

這與φ(x)=0有兩個大于1的不等根矛盾,

故不存在區(qū)間[a,b]滿足題意,即函數g(x)不存在保值區(qū)間.

練習冊系列答案
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π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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