Question

已知函數f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2）

（1）當t＜l時，求函數f（x）的單調區(qū)間；

（2）比較f（﹣2）與f （t）的大小，并加以證明；

（3）當函數自變量的取值區(qū)間與對應函數值的取值區(qū)間相同時，這樣的區(qū)間稱為函數的保值區(qū)間，設g（x）=f（x）+（x﹣2）e^x，試問函數g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區(qū)間？若存在，請求出一個保值區(qū)間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²﹣3x+3）e^x，x∈[﹣2，t]（t＞﹣2），

∴f′（x）=（2x﹣3）e^x+e^x（x²﹣3x+3）=e^xx（x﹣1）．

①當﹣2＜t≤0時，x∈（﹣2，t），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

②當0＜t＜1時，x∈（﹣2，0），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

綜上所述，當﹣2＜t≤0時，y=f（x）單調遞增區(qū)間為（﹣2，t）；

當0＜t＜1時，y=f（x）單調遞增區(qū)間為（﹣2，0），減區(qū)間為（0，t）．

（Ⅱ）f（t）＞f（﹣2）．

證明：令m=f（﹣2），n=f（t），則m=13e^﹣2，n=（t²﹣3t+3）e^t，

設h（t）=n﹣m=（t²﹣3t+3）e^t﹣13e^﹣2，

∴h′（t）=（2t﹣3）e^t+e^t（t²﹣3t+3）

=e^tt（t﹣1），（t＞﹣2）．

h（t），h′（t）隨t變化如下表：

由上表知h（t）的極小值為h（1）=e﹣=＞0．

又h（﹣2）=0，

∴當t＞﹣2時，h（t）＞h（﹣2）＞0，即h（t）＞0．

因此，n﹣m＞0，即n＞m，

所以f（t）＞f（﹣2）．

φ（x），φ′（x）隨x的變化如下表：

由上表知，φ（x₀）＜φ（1）=﹣1＜0，

φ（2）=e²﹣2＞0，

故y=φ（x）的大致圖象如圖，

因此φ（x）在（1，+∞）只能有一個零點，

這與φ（x）=0有兩個大于1的不等根矛盾，

故不存在區(qū)間[a，b]滿足題意，即函數g（x）不存在保值區(qū)間．