Question

已知函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．
（1）證明：對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0
（2）解不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0．

Answer 1

分析：（1）分類討論，分x₁+x₂=0、若x₁+x₂＜0、x₁+x₂＞0 三種情況，證明（x₁+x₂）與[f（x₁）+f（x₂）]符號相反．
（2）利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性列出不等式組，求出解集．

解答：解：（1）若x₁+x₂=0，顯然不等式成立；
若x₁+x₂＜0，則-1＜x₁＜-x₂＜1，∵函數(shù)y=f（x）在定義域[-1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），f（x₁）+f（x₂）＞0，故原不等式成立；
同理可證當x₁+x₂＞0  時，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a²）＜0 和已知可得以下不等式組

-1≤1-a2≤1 -1≤a-1≤1 1-a2＞a-1

解得 0≤a＜1．

點評：本題綜合考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性．