Question

已知，A是拋物線y²＝2x上的一動點(diǎn)，過A作圓(x－1)²＋y²＝1的兩條切線分別切圓于EF兩點(diǎn)，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，交y軸于B、C兩點(diǎn)

（１）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(8，4)時(shí)，求直線EF的方程；

（２）當(dāng)A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)時(shí)，求直線MN的方程；

（３）當(dāng)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求△ABC面積的最小值。

Answer 1

（１）∵DEFA四點(diǎn)共圓　EF是圓（x－1）²＋y²＝1及(x－1)(x－8)＋y(y－4)＝０

的公共弦    ∴EF的方程為7x＋4y－8＝0

（２）設(shè)AM的方程為y－2＝k(x－2)　　

即kx－y＋2－2k＝0與圓(x－1)²+y²＝1相切得＝1

∴k＝  把y－2＝（x－2）代入y²＝2x得M(，)，而N(2，－2)

∴MN的方程為3x＋2y－2＝0

（３）設(shè)P(x₀，y₀)，B(0，b)，C(0，c)，不妨設(shè)b＞c，  直線PB的方程為y－b＝，

即(y₀－b)x－x₀y＋x₀b＝0又圓心（1，0）到PB的距離為1，

所以＝1，故（y₀－b）²＋x＝（y₀－b）²＋2x₀b(y₀－b)+ xb²

又x₀＞2，上式化簡得（x₀－2）b²＋2y₀b－x₀＝0  同理有（x₀－2）c²＋2y₀c－x₀＝0

故b，c是方程（x₀－2）t²＋2y₀t－x₀＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

所以b＋c＝，bc＝，則(b－c)²＝

因?yàn)镻(x₀，y₀)是拋物線上的點(diǎn)，所以有y＝2x₀，則

(b－c)²＝，b－c＝，

∴S_△PBC＝(b－c)x₀＝＝x₀－2＋＋4≥2＋4＝8

當(dāng)（x₀－2）²＝4時(shí)，上式取等號，此時(shí)x₀＝4，y＝±2,因此S_△PBC的最小值為8