Question

1．如圖，在半徑為40cm的半圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中A，B在直徑上，點C，D在圓周上、
（1）設AD=x，將矩形ABCD的面積y表示成x的函數(shù)，并寫出其定義域；
（2）怎樣截取，才能使矩形材料ABCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析 （1）OA=2$\sqrt{4{0}^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，可得y=f（x）=2x$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，x∈（0，40）．
（2）平方利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）AB=2OA=2$\sqrt{4{0}^{2}-{x}^{2}}$=2$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，
∴y=f（x）=2x$\sqrt{1600-{x}^{2}}$，x∈（0，40）．
（2）y²=4x²（1600-x²）≤4×$（\frac{{x}^{2}+1600-{x}^{2}}{2}）^{2}$=1600²，即y≤1600，當且僅當x=20$\sqrt{2}$時取等號．
∴截取AD=20$\sqrt{2}$時，才能使矩形材料ABCD的面積最大，最大面積為1600．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．