(2013•青浦區(qū)一模)已
m
=(2cosx+2
3
sinx,1),
n
=(cosx,-y),滿足
m
n
=0

(1)將y表示為x的函數(shù)f(x),并求f(x)的最小正周期;
(2)已知a,b,c分別為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊長,若f(x)≤f(
A
2
)
對所有的x∈R恒成立,且a=2,求b+c的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式可求出f(x)的解析式,然后利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡,最后利用周期公式可求出所求;
(2)根據(jù)f(x)≤f(
A
2
)
對所有的x∈R恒成立可求出角A,然后利用余弦定理求出b與c的等量關(guān)系,利用基本不等式和構(gòu)成三角形的條件可求出b+c的取值范圍.
解答:解:(1)∵
m
n
=0
,
m
=(2cosx+2
3
sinx,1),
n
=(cosx,-y),
∴(2cosx+2
3
sinx)cosx-y=0
即f(x)=(2cosx+2
3
sinx)cosx
=2cos2x+2
3
sinxcosx
=1+cos2x+
3
sin2x
=1+2sin(2x+
π
6

T=
2

∴f(x)的最小正周期為π.
(2)∵f(x)≤f(
A
2
)
對所有的x∈R恒成立
∴1+2sin(2x+
π
6
)≤1+2sin(A+
π
6
)對所有的x∈R恒成立
即sin(2x+
π
6
)≤sin(A+
π
6
)對所有的x∈R恒成立,而A是三角形中的角
∴A=
π
3

∴cosA=cos
π
3
=
b2+c2-4
2bc
即b2+c2=4+bc即(b+c)2=4+3bc≤4+3(
b+c
2
)
2

∴(b+c)2≤16即b+c≤4
而b+c>a=2
∴2<b+c≤4即b+c的取值范圍為(2,4]
點評:本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同時考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
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.
135
a2b2c2
246
.
=a2A2+b2B2+c2C2,則C2化簡后的最后結(jié)果等于
2
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3
3
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