Question

設點P到點M(-1,0)、N(1,0)距離之差為2m,到x軸、y軸距離之比為2,求m的取值范圍.

Answer 1

剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知點P的軌跡是雙曲線,由點P到x軸、y軸距離之比為2,知點P的軌跡是直線,由交軌法求得點P的坐標,進而可求得m的取值范圍.

解：設點P的坐標為(x,y),依題意得=2,即y=±2x(x≠0).              ①

    因此,點P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點不共線,得||PM|-|PN||＜|MN|=2.

    ∵||PM|-|PN||=2|m|＞0,

    ∴0＜|m|＜1.因此,點P在以M、N為焦點,實軸長為2|m|的雙曲線上.

    故-=1.                                                                 ②

    將①代入②,并解得x²=,

    ∵1-m²＞0,∴1-5m²＞0.

    解得0＜|m|＜,

    即m的取值范圍為(-,0)∪(0,).

講評：本題考查了雙曲線的定義、標準方程等基本知識,考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力.解決此題的關鍵是用好雙曲線的定義.