Question

設(shè)點(diǎn)F₁是橢圓

x2

12

+

y2

3

=1的左焦點(diǎn)，弦AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則△F₁AB的面積的最大值是（　�。�

• A．6
• B．12
• C．3

  3

• D．6

  3

Answer 1

分析：設(shè)出直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積公式即可得出不等式，利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為x=my+3，聯(lián)立

x2 12 + y2 3 =1 x=my+3

消去x得（m²+4）y²+6my-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|=3|y1-y2|=3

(y1+y2)2-4y1y2

=12

3

•

m2+1

m2+4

．
令t=

m2+1

，則t≥1．
∴S△F1AB=12

3

•

t

t2+3

=

12 3

t+ 3 t

≤

12 3

2 3

=6．（當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)等號(hào)成立）
因此△F₁AB的面積的最大值是6．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與橢圓相交問(wèn)題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．