Question

曲線y=2x⁴上一點到直線y=-x-1的距離的最小值為

 

．

Answer 1

分析：將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線平行的切線和直線的距離；利用導函數(shù)的幾何意義求出曲線與已知直線平行的切線；利用兩條平行線的距離公式求出距離的最小值．

解答：解：曲線y=2x⁴上一點到直線y=-x-1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為曲線與直線平行的切線和直線的距離
y′=8x³
令8x³=-1得x=-

1

2

，
將x=-

1

2

代入y=2x⁴求出切點（-

1

2

，

1

8

），
曲線的切線方程為y-

1

8

=-(x+

1

2

)即x+y+

3

8

=0，
又y=-x-1即為x+y+1=0，
所以最小距離為

1- 3 8

2

=

5 2

16

，
故答案為

5 2

16

．

點評：本題考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點處的導數(shù)值是曲線的切線斜率、兩平行線的距離的公式