Question

19．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S₂=2，且a_n-S_n+1，λ+a_n+1（λ≠0），S_n+2成等差數列，則數列{${2}^{{a}_{n+2}-{a}_{n}}$}的前n項和T_n的表達式為$\frac{{{4^λ}（{1-{4^{2nλ}}}）}}{{1-{4^{2λ}}}}$．（用含有λ的式子表示）

Answer 1

分析 利用等差數列，推出關系式，構造新數列{b_n}即{a_n+1-a_n}，推出數列是等差數列，然后求解數列的和即可．

解答 解：∵a_n-S_n+1，λ+a_n+1（λ≠0），S_n+2成等差數列，
∴2λ+2a_n+1=a_n-S_n+1+S_n+2=a_n+a_n+2．可得：a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2λ．令b_n=a_n+1-a_n
∴b_n+1-b_n=2λ，b₁=a₂-a₁=0．所以{b_n}是以0為首項，公差為2λ的等差數列，
所以b_n=b₁+（n-1）2λ=2λ（n-1）．
a_n+1-a_n=2（n-1）λ，a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+2λ=2（2n-1）λ，
∴${2}^{{a}_{n+2}-{a}_{n}}$=4^（2n-1）λ，
T_n=4^λ+4^3λ+4^5λ+…+4^（2n-1）λ=$\frac{{4}^{λ}（1-{4}^{2nλ}）}{1-{4}^{2λ}}$．
②-①，得2（a_n+2-a_n+1）=（a_n+1-a_n）+（a_n+3-a_n+2），
故答案為：$\frac{{{4^λ}（{1-{4^{2nλ}}}）}}{{1-{4^{2λ}}}}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．