Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinx•sin(

π

2

-x)-2cos(π+x)•cosx+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若f（A）=4，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)誘導公式和二倍角公式、兩角和的正弦公式對解析式化簡，再由周期公式求f（x）的最小正周期；
（2）把條件代入f（x）的解析式化簡，再由A的范圍和正弦值求A，結(jié)合三角形面積公式條件和余弦定理求出邊a．

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx•sin(

π

2

-x)-2cos(π+x)•cosx+2
=2

3

sinx•cosx+2cosx•cosx+2
=

3

sin2x+（1+cos2x）+2
=

3

sin2x+cos2x）+3
=2sin（2x+

π

6

）+3
∴T=

2π

2

=π．
（2）由f（A）=4得2sin（2A+

π

6

）+3=4，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，A=

π

3

．
由S_△ABC=

3

2

，得

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×

3

2

=

3

2

，c=2．
由余弦定理得a²=b2+c2-2bccosA=1+4-2×2×

1

2

=3，∴a=

3

．

點評：本題考查了三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，以及余弦定理的綜合應用，關(guān)鍵是正確對解析式進行化簡，屬于中檔題．