Question

設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。
（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式；
（2）記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；

Answer 1

（1），；（2）祥見解析．

試題分析：（1）由已知及與的關(guān)系：，令n=1可求得的值，再將已知等式中的n換成n+1得，然后與已知式子：相減得到：，從而可得到：，這說明數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以就可寫出數(shù)列的通項公式，再代入就可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）的結(jié)果，結(jié)合就可得到數(shù)列的通項公式，如果其前n項和可求，則先求出其前n項和再與比較大��；若直接求和比較難辦，則注意思考先用放縮法將數(shù)列的通項公式放大成一個可求和的數(shù)列，則小于此數(shù)列的前n項和，而此此數(shù)列的前n項和恰好是小于或等于的，因此在放大的時候一定要注意適當放大且能求和是關(guān)鍵．
試題解析：（1）當時，      1分 
又       3分
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，     4分
∴，         6分 
（2）由得        7分

     10分
又   當時，，，     11分
當時，
∴對任意正整數(shù)都有。     14分