如下圖,α和β為平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分別為,,A=3,B=2.若二面角α―l―β的大小為,求:

(Ⅰ)點(diǎn)B到平面α的距離;

(Ⅱ)異面直線lAB所成的角(用反三角函數(shù)表示).

答案:
解析:

  解:(1)如下圖,過點(diǎn)B′C∥A′A且使B′C=A′A.過點(diǎn)BBD⊥CB′,交CB′的延長線于D

  由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,故l⊥平面BB′D,得BDl又因BDCB′,從而BD⊥平面α,BD之長即為點(diǎn)B到平面α的距離.

  因B′C⊥lBB′⊥l,故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角.由題意,∠BB′C.因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C,BD=BB′·sinBB′D=

  (Ⅱ)連接AC、BC.因B′C∥A′A,B′C=A′A,AA′l,知A′ACB′為矩形,故ACl.所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線lAB所成的角.

  在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C,則由余弦定理,

  BC

  因BD平面,且DCCA,由三策劃線定理知ACBC.

  故在△ABC中,BCA=,sinBAC

  因此,異面直線l與AB所成的角為arcsin


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(Ⅰ)證明:⊥平面;

(Ⅱ)求平面與平面所成角的余弦值;

 

 

 

 

 

 

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已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

(1)證明:平面;

(2)求二面角的余弦值;

(3)的中點(diǎn),在線段上是否存在一點(diǎn),使得平面,若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.

 

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