Question

已知橢圓（a＞0）的離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），若|AB|=，求直線l的傾斜角．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率得出3a²=4c²以及c²=a²-b²，求出a、b的值；
（2）由A（-2，0），設(shè)B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 ，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=得x₁=，從而y₁=，再由|AB|=，求出k的值，即可得到傾斜角．
解答：解：（1）由e==，得3a²=4c²．再由c²=a²-b²，解得a=2b=2．
所以橢圓的方程為+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x+2）．
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，
得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=得x₁=，從而y₁=．（6分）
所以|AB|==．
由|AB|=，得=
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=，解得k=±1．
經(jīng)檢驗(yàn)△＞0符合題意，所以直線l的傾斜角為或．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，屬于難題．