Question

將直線y=-5x+15繞著它與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角后，恰好與圓x²+y²+4x+2y-8=0相切，求旋轉(zhuǎn)角θ的最小值．

Answer 1

分析：令直線y=-5x+15中的y=0，求出x的值，得到直線與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和半徑r，顯然切線方程的斜率存在，又過P點(diǎn)，設(shè)出切線的斜率，表示出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，由直線與圓相切可得d=r，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，再由直線y=-5x+15的斜率為-5，根據(jù)到角的公式求出tanθ的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出旋轉(zhuǎn)角θ的最小值．

解答：解：令直線y=-5x+15中y=0，解得：x=3，
∴直線與x軸的交點(diǎn)為P（3，0），
把已知圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+2）²+（y+1）²=13，
∴圓心C（-2，-1），半徑為r=

13

，…（4分）
顯然切線存在斜率，
∴設(shè)切線方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
由圓心到切線的距離等于半徑可知：

|5k-1|

1+k2

=

13

，
整理得：（5k-1）²=13（1+k²），即（3k+2）（2k-3）=0，
解得：k=-

2

3

或k=

3

2

，
由題設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可知應(yīng)取k=-

2

3

，…（8分）
∴由到角公式知tanθ=

- 2 3 +5

1+ 10 3

=1，
則故旋轉(zhuǎn)角θ的最小值為

π

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，到角公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．