Question

在曲線y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一點(diǎn)（x，y），過(guò)此點(diǎn)作一切線與x軸、y軸圍成一個(gè)三角形．
（1）求三角形面積S的最小值及相應(yīng)的x；
（2）當(dāng)三角形面積達(dá)到最小值時(shí)，求此三角形的外接圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)y=1-x²在（x，y）處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，對(duì)于直線的方程分別令y=0，x=0得到直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出三角形的兩條直角邊，利用三角形的面積表示出面積，對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，判斷出根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出最大值．
（2）當(dāng)三角形面積最小時(shí)，求出此時(shí)的切線方程及切線與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出此三角形的外接圓圓心，半徑，從而寫出外接圓方程即可．
解答：解：（1）y'=-2x，則過(guò)點(diǎn)（x，y）的切線方程為y-（1-x²）=-2x（x-x），
與x、y軸圍成的三角形面積為，
則，令S'=0得
當(dāng)時(shí)，S'＜0，f（x）單調(diào)遞減；  當(dāng)時(shí)，S'＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴S的最小值為，此時(shí)（7分）
（2）當(dāng)三角形面積最小時(shí)，切線方程為，切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為、，
∴此三角形的外接圓圓心為，半徑為，
∴所求外接圓方程（12分）
點(diǎn)評(píng)：解決曲線的切線斜率問(wèn)題，一般利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；解決實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的最值問(wèn)題，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值即函數(shù)的最值．