Question

已知定義域為D的函數(shù)f（x），如果對任意x₁，x₂∈D，存在正數(shù)k，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
成立，那么稱函數(shù)f（x）是D上的“倍約束函數(shù)”，已知下列函數(shù)：①f（x）=2x；②f（x）=2sin（x+

π

4

）；③f（x）=

x-1

；④f（x）=lg（2x²+1），其中是“倍約束函數(shù)”的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分析可知，實質(zhì)是求函數(shù)導(dǎo)數(shù)絕對值的最大值，其可以做為正數(shù)k．

解答： 解：：①當(dāng)f（x）=2x時；對任意x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|，故f（x）=2x為倍約束函數(shù)；
②當(dāng)f（x）=2sin（x+

π

4

）時；對任意x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|=|2sin（x₁+

π

4

）-2sin（x₂+

π

4

）|≤2|x₁-x₂|，故f（x）=2sin（x+

π

4

）為倍約束函數(shù)；
③當(dāng)f（x）=

x-1

時；|f（x₁）-f（x₂）|=

1

x1-1 + x2-1

|x₁-x₂|，故不存在正數(shù)k，故不是倍約束函數(shù)；
④當(dāng)f（x）=lg（2x²+1）時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，故f（x）=lg（2x²+1）為倍約束函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．