橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸，它的短軸長為2，過焦點(diǎn)與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，若
PC
=λ1
CN
，
PD
=λ2
DN
，求證：λ1+λ2為定值．
（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1．
令x=-c，代入橢圓方程得，y=±
b2
a
．
所以2×
b2
a
=1，2b=2，
解得a=2，b=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
1
m
）
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）
聯(lián)立直線與橢圓的方程
x=my-1
x2
4
+y2=1
，得（m2+4）y2-2my-3=0，
∴y1+y2=
2m
m2+4
，y1y2=
-3
m2+4

又∵
PC
=λ1
CN
，
PD
=λ2
DN
，
∴λ1=
1
m
-y1
y1
，λ2=
1
m
-y2
y2
，
∴λ1+λ2=
1
m
-y1
y1
+
1
m
-y2
y2
=
1
my1
+
1
my2
-2=
y1+y2
my1y2
-2=-
2
3
-2=-
8
3

即λ1+λ2為定值
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過（2，0）點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與橢圓
x2
5
+
y2
3
=1相交于A，B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

過x軸上動(dòng)點(diǎn)A（a，0）引拋物線y=x2+1的兩條切線AP、AQ，P、Q為切點(diǎn)．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2，求證：k1•k2為定值，并求出定值；
（2）求證：直線PQ恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)
S△APO
PQ
最小時(shí)，求
AQ
•
AP
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1和拋物線C2：y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當(dāng)|AB|：|CD|=5：3時(shí)，求p的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P(-1，
3
2
)是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在λ，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距離為
5
？若存在，求λ值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

斜率為2的直線l與雙曲線
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，求直線l的方程．

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同步練習(xí)冊答案