Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，存在常數(shù)A，B，C，使得對任意正整數(shù)n都成立．
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求證：3A-B+C=0；
（2）若，設(shè)b_n=a_n+n，數(shù)列{nb_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，設(shè)，求不超過P的最大整數(shù)的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件都轉(zhuǎn)化為首項和公差的形式，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和S_n所滿足的條件即可得到結(jié)論．
（2）先根據(jù)前n項和S_n以及通項之間的關(guān)系求出{a_n}的通項，進而得到數(shù)列{nb_n}的通項，再結(jié)合錯位相減法即可求出T_n；
（3）先根據(jù)條件求出{a_n}的通項；進而根據(jù)裂項求和法求出P的表達式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）因為{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，
得，
即對任意正整數(shù)n都成立．
所以所以3A-B+C=0．       …（4分）
（2）因為，所以，
當n≥2時，，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以，而，
所以數(shù)列{b_n}是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以． …（7分）
于是．所以①，
，②
由①-②，得．
所以．…（10分）
（3）因為{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，由（1）知，公差d=1，所以a_n=n．
而=，…（14分）
所以，
所以，不超過P的最大整數(shù)為2012．…（16分）
點評：本題主要考察由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的和，其中涉及到數(shù)列求和的錯位相減法以及裂項求和法，是對數(shù)列知識的綜合考察，主要考察計算能力．