Question

（2011•浙江模擬）在數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和S_n與a_n滿足關(guān)系式：（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t（t＞0，n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），已知數(shù)列{b_n}，b1=1，bn+1=3f(

1

bn

)  (n=1，2，3，…)，求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時(shí)，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，可求的首項(xiàng)a₁=

1

3

；當(dāng)n≥2時(shí)，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t，兩式相減可得（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0，從而有

an

an-1

=

2t+1

3t

，故可知數(shù)列{a_n}是以

2t+1

3t

為公比，

1

3

為首項(xiàng)的等比數(shù)列；
（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

3t

(t＞0)，bn+1=3f(

1

bn

)，則b_n+1=b_n+2，從而可得數(shù)列{b_n}是以2為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，從而b_n=2n-1由于涉及（-1）ⁿ⁺¹，故分n為偶數(shù)及奇數(shù)分類求和．

解答：證明：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時(shí)，（t-1）S₁+（2t+1）a₁=t，∴a₁=

1

3

當(dāng)n≥2時(shí)，（t-1）S_n+（2t+1）a_n=t，（t-1）S_n-1+（2t+1）a_n-1=t
∴（t-1）a_n+（2t+1）a_n-（2t+1）a_n-1=0
∴3ta_n=（2t+1）a_n-1，t＞0
∴

an

an-1

=

2t+1

3t

，a1=

1

3

∴數(shù)列{a_n}是以

2t+1

3t

為公比，

1

3

為首項(xiàng)的等比數(shù)列；
解：（II）由（Ⅰ）可知，f(t)=

2t+1

3t

(t＞0)，bn+1=3f(

1

bn

)，則b_n+1=b_n+2
所以，數(shù)列{b_n}是以2為公差，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列
即b_n=2n-1
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₁b₂+b₃（b₄-b₂）+b₅（b₆-b₄）+…+b_n（b_n+1-b_n-1）
=3+4（b₃+b₅+…+b_n）
=2n²+2n-1
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-4（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2n²+2n）
所以，原式=

2n2+2n-1       n為奇數(shù) -(2n2+2n)       n為偶數(shù)

點(diǎn)評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查等比數(shù)列的定義，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．