Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，試討論函數(shù)f（x²-3）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 可設(shè)x²-3=t，t≥-3，從而看出原函數(shù)是由f（t）和t=x²-3復(fù)合而成的，這樣先判斷f（t）在t≥-3上的單調(diào)性：容易得出，f（t）在[-3，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，然后找出區(qū)間[-3，1]，和（1，+∞）的x所對應(yīng)的區(qū)間，在對應(yīng)區(qū)間里判斷函數(shù)t=x²-3的單調(diào)性，這樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點即可得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即判斷出原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：設(shè)x²-3=t，t≥-3，∴函數(shù)f（x²-3）是由f（t）和t=x²-3復(fù)合而成；
f（t）=t²-2t=（t-1）²-1；
f（t）在[-3，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
t=-3時，x=0，t=1時，x=±2；
而t=x²-3在[-2，0]單調(diào)遞減，在[0，2]單調(diào)遞增，在（-∞，-2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：f（x²-3）在[-2，0]，（2，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，2]，（-∞，-2）上單調(diào)遞減．

點評 考查換元法在判斷函數(shù)單調(diào)性中的運用，掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及過程，以及二次函數(shù)的單調(diào)性的判斷．