Question

長(zhǎng)度為a（a＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，且（λ為常數(shù)且λ＞0）．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程C，并說(shuō)明軌跡類型；
（II）當(dāng)λ=2時(shí)，已知直線l₁與原點(diǎn)O的距離為，且直線l₁與軌跡C有公共點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求點(diǎn)P的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)P（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意知點(diǎn)P滿足于得到一個(gè)關(guān)系式，再結(jié)合線段AB的長(zhǎng)度為a（a＞0）化簡(jiǎn)即得點(diǎn)P的軌跡方程，最后對(duì)參數(shù)λ進(jìn)行討論來(lái)判斷軌跡是什么圖形即可．
（II）設(shè)直線l₁的方程：y=kx+h，先由直線l₁與原點(diǎn)O的距離為，得出h與k的關(guān)系，再將直線方程代入（1）中的方程，利用根的判別式△=9（4+k²）a²-81h²≥0即可求出斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)P（x，y）、A（x，0）、B（0，y），
則，
由此及|AB|=a⇒x²+y²=a²，得，
即．（*）（3分）
①當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；
②當(dāng)λ＞1時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓；
③當(dāng)λ=1時(shí)，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)為圓心，
為半徑的圓． （6分）
（II）設(shè)直線l₁的方程：y=kx+h，
據(jù)題意有，即． （9分）
由
得．
因?yàn)橹本�l₁與橢圓有公共點(diǎn)，
所以△=9（4+k²）a²-81h²≥0，又把代入上式，
得，∴． （12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．