若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值,且函數(shù)f(x)圖象上以點(diǎn)A(3,f(3))為切點(diǎn)的切線與直線5x-y+1=0平行.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若方程f(x)=k有3個(gè)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出導(dǎo)數(shù),切線的斜率,由f′(2)=0,且f′(3)=5,列出方程,求出a,b即可;
(2)由(1)得,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,得x=2,或x=-2,列表求出單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)由(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象,及直線y=k,由圖象觀察即可.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,∴f′(x)=3ax2-b,
直線5x-y+1=0的斜率為5,
則由題意得,f′(2)=0,且f′(3)=5,即有12a-b=0且27a-b=5,
解得a=
1
3
,b=4,
f(x)=
1
3
x3-4x+4

(2)由(1)得,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,得x=2,或x=-2.
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,+2)2(2,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)
28
3
  -
4
3
則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-2,2).
(3)由(2)得f(x)的極大值為f(-2)=
28
3
,極小值為f(2)=-
4
3

函數(shù)f(x)=
1
3
x3-4x+4
的圖象大致如右:
若方程f(x)=k有3個(gè)解,需使直線y=k與函數(shù)
f(x)=
1
3
x3-4x+4
的圖象有3個(gè)交點(diǎn),
由圖象可知:-
4
3
<k<
28
3
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值,考查數(shù)形結(jié)合的能力,以及運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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△ABC中.AB邊的高為CD,若
CB
=
a
,
CA
=
b
a
b
=0,|
a
|=1,|
b
|=2,請(qǐng)用
a
,
b
表示
AD

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若f(x)=
2-x,x∈(-∞,1]
log81x,x∈(1,+∞)
,求滿足f(x)=
1
4
的x的值.

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若直線l過點(diǎn)(1,-1),與圓x2+y2=1相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=x3-3x.
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(1)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)?
(2)某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè),其中甲同學(xué)不到銀川,乙不到西寧,共有多少種不同派遣方案?
(3)將4個(gè)相同的白球、5個(gè)相同的黑球、6個(gè)相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個(gè)中,使得有一個(gè)空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種?

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判斷并證明函數(shù)f(x)=ln(1+e2x)-x的奇偶性.

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(1)若命題:“?x∈R,使得x2+(1-a)x+1<0”是真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)已知命題p:|1-
x-1
3
|≤2,命題q:(x-1+m)(x-1-m)≤0(m>0),且命題q是命題p的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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