Question

在直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ）．
（1）若θ銳角，且sinθ=

3

5

，求

CA

•

CB

；（2）若

CA

⊥

CB

，求sin2θ．

Answer 1

分析：（1）由θ為銳角及sinθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosθ的值，確定出C的坐標(biāo)，再由A和B的坐標(biāo)表示出向量

CA

和

CB

，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則即可求出

CA

•

CB

的值；
（2）由A，B及C的坐標(biāo)分別表示出

CA

和

CB

，由

CA

⊥

CB

，得到兩向量的數(shù)量積為0，故利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

CA

•

CB

，讓其值等于0，整理后兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，即可求出sin2θ的值．

解答：解：（1）∵θ銳角，且sinθ=

3

5

，
∴cosθ=

1-sin2θ

=

4

5

，…（1分），
∴C（

4

5

，

3

5

），又A（3，0），B（0，3），
∴

CA

=（

11

5

，-

3

5

），

CB

=（-

4

5

，

12

5

），…（3分）
則

CA

•

CB

=

11

5

×（-

4

5

）+（-

3

5

）×

12

5

=-

16

5

；…（6分）
（2）∵A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），
∴

CA

=（3-cosθ，-sinθ），

CB

=（-cosθ，3-sinθ），…（7分）
由

CA

⊥

CB

，得

CA

•

CB

=（3-cosθ）×（-cosθ）+（-sinθ）×（3-sinθ）=0，…（8分）
即3sinθ+3cosθ-1=0，整理得：sinθ+cosθ=

1

3

，…（9分）
兩邊平方，得sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=

1

9

，…（10分）
即1+sin2θ=

1

9

，
則sin2θ=-

8

9

．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．