Question

△ABC的三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)三邊a，b，c成等差數(shù)列，且

m

=(sinx，2sinx+3cosx)，

n

=(sinx，cosx)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1(x∈R)
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）求f(

B

2

-

π

8

)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則，由且

m

=(sinx，2sinx+3cosx)，

n

=(sinx，cosx)，得到

m

•

n

，進而得到f（x）的解析式，把f（x）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)周期的公式T=

2π

λ

及正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，即可得到f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由三角形的三邊a，b，c成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，表示出b，然后余弦定理表示出cosB，把表示出的b代入化簡后得到cosB的值大于等于

1

2

，由B為三角形中的角，得到B的取值范圍，把x=

B

2

-

π

8

代入f（x）中化簡后，由B的范圍得到正弦函數(shù)相應(yīng)的值域，進而得到f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=sin²x+cosx（2sinx+3cosx）-1
=sin2x+cos2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1(x∈R)，（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)
∴函數(shù)的最小正周期：T=π，單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)（6分）
（2）由a，b，c成等差數(shù)列，得：2b=a+c，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3a2+3c2-2ac

8ac

=

1

8

(3

a

c

+3

c

a

-2)≥

1

2

，
∴B∈(0，

π

3

]，（10分）
∴f(

B

2

-

π

8

)=

2

sinB+1(x∈R)的值域為(1，

6

2

+1]．（12分）

點評：此題考查學(xué)生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期及單調(diào)性，是一道中檔題．