Question

3． 已知函數(shù)f（x）=ax（x-c）²在點(diǎn)x=x₀處取得極大值32，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0）、（6，0），如圖．
（1）求x₀的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0）、（6，0），求出c的值即可求x₀的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的極值，建立方程關(guān)系求出a，即可求函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a（x-c）²+2ax（x-c）=3a（x-c）（x-$\frac{c}{3}$），
∵y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0）、（6，0），
∴2，6是方程f′（x）=0的兩個根，且a＞0，
則c=6，
則f′（x）=3a（x-6）（x-2），f（x）=ax（x-6）²，
由f′（x）＞0得x＞6或x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得2＜x＜6，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極大值，此時x₀=2．
（2）由（1）知當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極大值，極大值為32，
即f（2）=2a×16=32，解得a=1，
∴f（x）=x（x-6）²．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．