Question

已知函數(shù)f(x)=e^x-ex，
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小值；
（Ⅱ）對于函數(shù)h(x)=x²與g(x)=elnx，是否存在公共切線y=kx+b（常數(shù)k，b）使得h(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b在函數(shù)h(x)，g(x)各自定義域上恒成立？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，
令得x=1，
當x＞1時，；
當x＜1時，，
所以，函數(shù)f(x)在上遞減，在上遞增，
所以，函數(shù)f(x)的最小值為f(1)=0；
（Ⅱ）設，
則，
所以當時，；當時，，
因此當時，F(xiàn)（x）取得最小值0；
則h(x)與g(x)的圖象在處有公共點，
設公切線方程為，得，
由在x∈R恒成立，
則在x∈R恒成立，
所以恒成立，因此。
下面證明成立，
設，
所以當時，；當時，；
因此時，G（x）取得最大值0，則成立，
所以，
故所求公共切線為。