Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x（1+x）²，x∈（-∞，0]，
（1）求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）對任意的a＜0，以F（a）記f（x）在[a，0]上的最小值，求k=

F(a)

a

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)；
（2）由（1）判斷f（x）在[a，0]上的單調(diào)性，從而求f（x）在[a，0]上的最小值，從而得到F（a），從而求得k=

F(a)

a

，再求最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；
由f′（x）=0解得：x₁=-1，x₂=-

1

3

；
當(dāng)x＜-1或x＞-

1

3

時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜-

1

3

時(shí)，f′（x）＜0；    
所以，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)：
x₁=-1是極大值點(diǎn)，f（-1）=0；
x₂=-

1

3

是極小值點(diǎn)，f（-

1

3

）=-

4

27

．
（2）過點(diǎn)（-

1

3

，-

4

27

）做直線y=-

4

27

，與y=f（x）的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為A（x，-

4

27

），
則-

4

27

=x（1+x）²，即27x³+54x²+27x+4=0；
已知有解x=-

1

3

，則（3x+1）（9x²+15x+4）=0；
解得A（-

4

3

，-

4

27

）；
當(dāng)a＜-

4

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=f（a）；k=

f(a)

a

=（1+a）²＞

1

9

；
當(dāng)-

4

3

≤a≤-

1

3

時(shí)，F(xiàn)（a）=-

4

27

，k=

- 4 27

a

≥

- 4 27

- 4 3

=

1

9

，
其中當(dāng)a=-

4

3

時(shí)，k=

1

9

；    
當(dāng)-

1

3

＜a＜0時(shí)，F(xiàn)（a）=f（a），k=

f(a)

a

=（1+a）²＞

1

9

；
所以，對任意的a＜0，k的最小值為

1

9

；
（其中當(dāng)a=-

4

3

時(shí)，k=

1

9

）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．