Question

9．已知點(diǎn)A，B，C在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4），則$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的取值范圍為（　　）

• A． [10，15]
• B． [12，17]
• C． [13，17]
• D． [15，17]

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，由題意可知AC為圓的直徑，設(shè)出B，利用向量坐標(biāo)加法運(yùn)算求得$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$的坐標(biāo)，再求模，利用三角函數(shù)求最值．

解答 解：∵AB⊥BC，∴AC為圓x²+y²=4的直徑，如圖，

∵P（3，4），∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}=（-6，-8）$，
設(shè)B（2cosθ，2sinθ），則$\overrightarrow{PB}=（2cosθ-3，2sinθ-4）$．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$=|（2cosθ-9，2sinθ-12）|=$\sqrt{（2cosθ-9）^{2}+（2sinθ-12）^{2}}$
=$\sqrt{229-12（4sinθ+3cosθ）}$=$\sqrt{229-60sin（θ+α）}$（tanα=$\frac{3}{4}$）．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的最小值為$\sqrt{229-60}=13$，最大值為$\sqrt{229+60}=17$．
∴$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}}|$的取值范圍為[13，17]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)最值的求法，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．