Question

設(shè)

a

=(6cosx，-

3

)，

b

=(cosx，sin2x)，f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期、最大值及f（x）取最大值時x的集合；
（2）若銳角α滿足f(α)=3-2

3

，求tan

4

5

α的值．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的化簡方法可得f（x）=2

3

cos(2x+

π

6

)+3，由三角函數(shù)的知識可得所求；（2）由f(α)=3-2

3

得cos(2α+

π

6

)=-1，結(jié)合范圍可得α=

5

12

π，代入可得所求．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=

a

•

b

=6cos2x-

3

sin2x…（1分）
=6×

1+cos2x

2

-

3

sin2x=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+3…（3分）
=2

3

cos(2x+

π

6

)+3…（4分）       
故最小正周期T=

2π

2

=π…（5分）
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

12

，k∈Z時，f（x）有最大值2

3

+3，
此時，所求x的集合為{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}．…（7分）
（2）由f(α)=3-2

3

得 2

3

cos(2α+

π

6

)+3=3-2

3

，故cos(2α+

π

6

)=-1…（9分）
又由0＜α＜

π

2

得 

π

6

＜2α+

π

6

＜π+

π

6

，故2α+

π

6

=π，解得α=

5

12

π．…（11分）
從而tan

4

5

α=tan

π

3

=

3

．                         …（12分）

點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及三角函數(shù)的運算，屬中檔題．