Question

若數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=2x+1的圖象上，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{2na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）：將點（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）代入函數(shù)f（x）=2x+1的解析式，整理后發(fā)現(xiàn){a_n}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式可求：a_n=2^n-1
（2）2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，利用錯位相減法求解．

解答：解：（1）∵（a_n，a_n+1+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=2x+1的圖象上
則a_n+1+1=2a_n+1（n∈N^*）有a_n+1=2a_n
∵a₁=1，
∴a_n≠0，
∴

an+1

an

=2
∴{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，通項公式為a_n=2^n-1（n∈N^*）
（2）2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，S_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①2S_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②有-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
故S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）

點評：本題主要考查等比數(shù)列的判定，性質(zhì)和數(shù)列的求和．對于一些特殊數(shù)列的求和可利用錯位相減法、裂項法等方法來解決．