Question

命題“若過雙曲線-y²=1的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交X軸于點M則為定值，且定值為．
（1）試類比上述命題，寫出一個關(guān)于橢圓C：+=1的類似的正確命題，并加以證明；
（2）試推廣（1）中的命題，給出關(guān)于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統(tǒng)一的一般性命題（不證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）關(guān)于橢圓C的類似命題是：過橢圓的一個焦點F₂（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值為．
證明：設(shè)直線l為：y=k（x-4），當k=0時，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，．當k≠0時，由，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，由根的判別式和韋達定理知AB的垂直平分線方程為：，由此能夠證明．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，由此知則為定值．
解答：解：（1）關(guān)于橢圓C的類似命題是：
過橢圓的一個焦點F₂（4，0）作與x軸不垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值為．
證明：由于l與x軸不垂直，設(shè)直線l為：y=k（x-4），
①當k=0時，l與x軸重合，|AB|=10，|FM|=4，．
②當k≠0時，由，
消去y，得（25k²+9）x²-8×25k²+25（16k²-9）=0，
△=（8×25k²）²-4×25（25k²+9）（16k²-9）=4×25×9²（k²+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點N（x，y），
則，
∴=，
AB的垂直平分線方程為：，
令y=0，解得x=，
∴，
∴，

=，
∴．
（2）過圓錐曲線E的一個焦點F作與x軸不垂直的直線交曲線E于A、B兩點，
線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．