Question

數(shù)列{a_n}為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54．求其首項(xiàng)a₁及公比q．

Answer 1

分析：根據(jù)S_2n-S_n=6560-80＞80，可得此數(shù)列為遞增等比數(shù)列，故q≠1，由題意可得

a1(1-qn) 1-q =80， ①  a1(1-q2n) 1-q =6560，②   a1qn-1=54.              ③

，解此不等式組求出首項(xiàng)a₁及公比q的值．

解答：解：∵S_2n-S_n=6560-80＞80，∴此數(shù)列為遞增等比數(shù)列．故q≠1．
依題設(shè)，有

a1(1-qn) 1-q =80， ①                          a1(1-q2n) 1-q =6560，②                        a1qn-1=54.              ③

②÷①，得 1+qⁿ=82，qⁿ=81．④
④代入①，得 a₁=q-1．⑤
⑤代入③，得 qⁿ-q^n-1=54．⑥
④代入⑥，得 q^n-1=27，再代入③，得a₁=2，再代入⑤，得 q=3．
綜上可得 a₁=2，q=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于