Question

對于數(shù)列{a_n}，如果存在一個正整數(shù)T，使得對任意的n（n∈N*）都有a_n+T=a_n成立，那么數(shù)列{a_n}稱作周期為T的周期數(shù)列，T的最小值稱作數(shù)列{a_n}的最小正周期，以下簡稱周期．
（1）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=cos

2nπ

3

，判斷數(shù)列{a_n}是否是周期數(shù)列？并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，且數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，求常數(shù)λ的值；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a（其中a是常數(shù)），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N*），求數(shù)列{a_n}的前2014項(xiàng)和S₂₀₁₄．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于a_n+3=a_n，即可得出．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，可得a₃，a₄．利用數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，可得1=2λ²-λ-2．解得λ即可．．
（3）由于數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a（其中a是常數(shù)），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N*），可得a₂+a₃+a₄=…=a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=cos

4π

3

=-

1

2

．即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+3=cos

2(n+3)π

3

=cos(2π+

2nπ

3

)=cos

2nπ

3

=a_n，
∴數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+2=λ•a_n+1-a_n（n∈N*），a₁=1，a₂=2，
∴a₃=2λ-1，a₄=2λ²-λ-2．
∵數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，∴1=2λ²-λ-2．解得λ=-1或

3

2

．經(jīng)檢驗(yàn)λ=-1．
（3）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=a（其中a是常數(shù)），a_n+a_n+1+a_n+2=cos

2nπ

3

（n∈N^*），
∴a₂+a₃+a₄=…=a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=cos

4π

3

=-

1

2

．
∴S₂₀₁₄=1+671（a₂+a₃+a₄）=1-

671

2

=-

669

2

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．