Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+sinθ+cosθ，（1）若f（2）=1，求θ的值．（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，不等式f（x）＞0恒成立．試求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（2）=1，可得三角方程，即可求得；
（2）將不等式f（x）＞0 轉(zhuǎn)化為

2

sin(θ+

π

4

)＞x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

；x∈[0，1]，從而利用最值法可解．

解答：解：（1）∵f（2）=1，
∴sinθ+cosθ=-1，
∴sin(θ+

π

4

)=-

2

2

，θ=2kπ-

π

2

，或θ=2kπ+π，k∈Z
（2）

2

sin(θ+

π

4

)＞x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

；x∈[0，1]，
右邊函數(shù)的最大值為

1

4

sin(θ+

π

4

)＞

2

8

，2kπ+arcsin

2

8

＜θ+

π

4

＜2kπ+π-arcsin

2

8

k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查三角方程，考查不等式恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化的策略．