Question

對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若同時滿足以下條件：
①函數(shù)f（x）是D上的單調(diào)函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則稱函數(shù)f（x）是閉函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f(x)=2x+

4

x

，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是閉函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f(x)=

x+2

+k，x∈[-2，+∞）是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）f′(x)=2-

4

x2

=

2(x2-2)

x2

令f'（x）=0
解得x=

2

(x=-

2

舍）
∵x∈[1，

2

)時f'（x）＜0；
x∈(

2

，10]時f'（x）＞0
∴f（x）在[1，

2

)上是減函數(shù)，在(

2

，10]上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）不是[1，10]上的單調(diào)函數(shù)
∴f(x)=2x+

4

x

不是閉函數(shù)．
②∵g'（x）=-x²≤0∴g（x）=-x³在R上是減函數(shù)，
設g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則

b=-a3 a=-b3 a＜b

，解得

a=-1 b=1

∴存在區(qū)間[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函數(shù)g（x）=-x³是閉函數(shù)
（2）函數(shù)f(x)=

x+2

+k在定義域上是增函數(shù)
設函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
故a，b是方程x=k+

x+2

的兩個不相等的實根，
命題等價于

x2-(2k+1)x+k2-2=0 x≥-2 x≥k

有兩個不相等的實根，
當k≤-2時，

2k+1 2 ＞-2 (2k+1)2-4(k2-2)＞0 22-(2k+1)k+k2-2≥0

，
解得k＞-

9

4

，∴k∈(-

9

4

，-2]．
當k＞-2時，

2k+1 2 ＞k (2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+k2-2≥0

，無解．
∴k的取值范圍是(-

9

4

，-2]