Question

圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），AB為過點(diǎn)P但不與x軸垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則的取值范圍________．

Answer 1

[-8，2]
分析：設(shè)直線AB方程為y-2=k（x+1），將它與圓方程消去y得關(guān)于x的方程，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得x₁+x₂=，x₁x₂=，再結(jié)合直線方程算出y₁y₂=．由此得到=x₁x₂+y₁y₂=-6+，利用導(dǎo)數(shù)工具討論關(guān)于k的函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到的取值范圍．
解答：設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-2=k（x+1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由消去y，
得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
可得y₁y₂=[k（x₁+1）+2][k（x₂+1）+2]=k²x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+（k+2）²=．
從而有=x₁x₂+y₁y₂=+=-6+
設(shè)F（k）=，則F'（k）==-
∴當(dāng)k＜-2或k＞時(shí)，F(xiàn)'（k）＜0；當(dāng)-2＜k＜時(shí)，F(xiàn)'（k）＞0
函數(shù)F（k）在（-∞，-2）和（，+∞）上是減函數(shù)，在（-2，）上是增函數(shù)；
由此可得F（k）的最小值為它的極小值F（-2）=-2，最大值是它的極大值F（）=8
∴=-6+的最小值為-8，最小值為2
即的取值范圍為[-8，2]
故答案為：[-8，2]
點(diǎn)評(píng)：本題在直線與圓相交的情況下，求數(shù)量積的取值范圍，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．