Question

已知?jiǎng)与p曲線的右頂點(diǎn)在拋物線y²=x-1上，實(shí)軸長(zhǎng)為定值4，右準(zhǔn)線恰為y軸．
（Ⅰ）求動(dòng)雙曲線中心的軌跡方程；
（Ⅱ）求虛半軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)設(shè)雙曲線的中心為M（x，y），由于右準(zhǔn)線為y軸，故x＜0．再根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)為4，得雙曲線的右頂點(diǎn)為（x+2，y）．由題意知點(diǎn)（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，由此能求出動(dòng)雙曲線中心的軌跡方程．
（Ⅱ）先設(shè)雙曲線方程為．可得右準(zhǔn)線為．而右準(zhǔn)線方程為x=0，從而有．由（Ⅰ）知，故．由此建立關(guān)于b的不等關(guān)系即可求出虛半軸長(zhǎng)的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）：設(shè)雙曲線的中心為（x，y），由于右準(zhǔn)線為y軸，故x＜0．
∵實(shí)軸長(zhǎng)為4，故a=2．
∴雙曲線的右頂點(diǎn)為（x+2，y）．
由題意知點(diǎn)（x+2，y）在拋物線y²=x-1上，
∴y²=（x+2）-1=x+1．
∴雙曲線中心的軌跡方程為y²=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）
（Ⅱ）：設(shè)雙曲線方程為．
∵a=2，故．
由，得右準(zhǔn)線為．
而右準(zhǔn)線方程為x=0，
∴．
∴．
由（Ⅰ）知，
故．
化簡(jiǎn)得b²≥12，故．
∴虛半軸長(zhǎng)的取值范圍是．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．