【題目】如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形,,.均為正三角形,的中點,重心.

1)求證:平面

2)求三棱錐的體積.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)方法一:連接并延長與交于,連接,推導(dǎo)出,從而,由重心,得,進而,由此能證明平面

方法二:過,過,連接,易知,又的重心, 根據(jù)比例關(guān)系可得 ,

為梯形, ,由比例關(guān)系可得,又, 為平行四邊形,可得,根據(jù)線面平行判定定理即可證明結(jié)果;

方法三:過,連接,由為正三角形,的中點,且, 的重心,

又由梯形,可得,可證 ,可得平面平面

根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明結(jié)果.

2)方法一:由平面平面均為正三角形,的中點,可得平面,且,由(1)知平面,可得 ,再根據(jù)題意解出,即可求出結(jié)果.

方法二:三棱錐的體積 .由此能求出結(jié)果.

1)方法一:連,連接.

由梯形 ,知

的中點,且,的重心,∴

中,,故.

平面,平面,∴平面

方法二:過,過,連接,

的中點,且,

的重心, ,

為梯形, ,

,

又由所作, , 為平行四邊形.

,,

方法三:過,連接

為正三角形,的中點,且 的重心,

,

又由梯形,且,

,即

∴在中, ,所以平面平面

平面,∴

2)方法一:由平面平面,均為正三角形,的中點

,,得平面,且

由(1)知平面,∴

又由梯形 ,且,知

為正三角形,得,

∴三棱錐的體積為.

方法二:由平面平面均為正三角形,的中點

,,得平面,且

,∴

而又為正三角形,得,得.

,∴三棱錐的體積為.

練習(xí)冊系列答案
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232

321

230

023

123

021

132

220

001

231

130

133

231

031

320

122

103

233

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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