Question

【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1： （θ為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρsin（ ）=1．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C1上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線C2的距離相等，分別求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1： （θ為參數(shù)），兩式平方相加可得：x2+y2=4，

曲線C2：ρsin（ ）=1，展開(kāi)可得： + =1，化為直角坐標(biāo)方程： =0

（2）解：原點(diǎn)O到直線C2： =0的距離d= =1= r，

直線 y+x=0與圓的兩個(gè)交點(diǎn)A，B滿足條件．

聯(lián)立 ，解得 或 ，

利用 ，分別化為極坐標(biāo)A ，B ．

設(shè)與直線： =0平行且與圓相切的直線方程為： y+x+m=0，（m＜0）．

聯(lián)立 ，化為：4y2+2 my+m2﹣4=0，

令△=12m2﹣16（m2﹣4）=0，解得m=﹣4．

∴ =0，

解得y= ，x=1．

∴切點(diǎn)C ，化為極坐標(biāo)C ．

∴滿足條件的這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為：極坐標(biāo)A ，B ，C ．

【解析】（1）曲線C1： （θ為參數(shù)），兩式平方相加可得直角坐標(biāo)方程；曲線C2：ρsin（ ）=1，展開(kāi)可得： + =1，把 代入即可化為直角坐標(biāo)方程．（2）原點(diǎn)O到直線C2： =0的距離d=1= r，直線 y+x=0與圓的兩個(gè)交點(diǎn)A，B滿足條件．聯(lián)立 ，解出利用 ，分別化為極坐標(biāo)A，B．

設(shè)與直線： =0平行且與圓相切的直線方程為： y+x+m=0，（m＜0）．與圓的方程聯(lián)立化為：4y2+2 my+m2﹣4=0，令△=0，解得m，即可得出．