Question

已知P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2013或2014，i=1，2，3，…，n}（n≥2），對于U，V∈P_n，d（U，V）表示U和V中相對應的元素不同的個數(shù)．
（1）令U=（2014，2014，2014，2014，2014），存在m個V∈P_s，使得d（U，V）=2，則m=

 

；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），若V∈P_n，則所有d（U，V）之和為

 

．

Answer 1

考點：排列、組合的實際應用

專題：綜合題,排列組合

分析：（1）根據(jù)d（U，V），由存在m個V∈P_s，使得d（U，V）=2可知m=C₅²；
（2）易知V_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=2013的v_k共有2^n-1個，b_i=2014的v_k共有2^n-1個然后求和即可．

解答： 解：（1）由題意，∵U=（2014，2014，2014，2014，2014），存在m個V∈P_s，使得d（U，V）=2，
∴根據(jù)d（U，V）表示U和V中相對應的元素不同的個數(shù)，可得m=

C

2 5

=10；
（2）∵P_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2013或2014，i=1，2，3，…，n}（n≥2），
∴P_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵b_i=2013的v_k共有2^n-1個，b_i=2014的v_k共有2^n-1個．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-2013|+|a₁-2014|+|a₂-2013|+a₂-2014|+|a₃-2013|+|a₃-2014|+…+|a_n-2013|+|a_n-2014|=n•2^n-1
∴d（U，V）=n•2^n-1．

點評：本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現(xiàn)在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．