精英家教網(wǎng)如圖，菱形ABCD的邊長為1，有∠D=120°，點E、F分別是AD、DC的中點，BE、BF分別與AC交于點M、N．
（1）求AC的值．
（2）求MN的值．
分析：（1）利用菱形的對角線垂直及對角線平分頂角，再解直角三角形求出邊AC
（2）利用三點共線則向量共線，據(jù)向量共線的充要條件設出
AM
，
AC
共線的條件及
EM
，
EB
共線的條件，
兩等式聯(lián)立求出點M所在的位置，同理得到點N的位置，求出|MN|的長．
解答：解：（1）連接BD交AC于點O，由∠ADC=120°，得∠ADO=60°，
而∠AOD=90°，AD=1，得OD=
1
2
，OA=
3
2
，∴AC=
3
；
（2）設
AB
=a，
AD
=b，則
AM
=λ
AC
=λ(a+b)，而B、M、E三點共線，
∴
EM
=u
MB
，即
AM
-
AE
=u(
AB
-
AM
)，∴(1+u)
AM
=u
AB
+
AE
，
即(1+u)λ(a+b)=ua+
1
2
b，有
(1+u)λ=u
(1+u)λ=
1
2
，解得u=
1
2
，λ=
1
3
，
∴
AM
=
1
3
AC
，即|
AM
|=
1
3
|
AC
|，同理|
CN
|=
1
3
|
AC
|，得|
MN
|=
1
3
|
AC
|
由（1）得|
AC
|=
3
，∴|
MN
|=
1
3
|
AC
|=
3
3
．
即MN=
3
3
．
點評：本題考查菱形的對角線的性質(zhì)、向量共線的充要條件、向量的運算律及運算法則．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•西城區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3
2
．
（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∪BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=2
2
．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱錐B-DOM的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=2
2
．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則
AM
•
AN
的最大值為
9
9
．

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