Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈[0， 

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）整體思維，求得角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
令2x-

π

4

=kπ+

π

2

k∈Z），即f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z）．…（6分）
（2）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
當(dāng)x∈[0， 

π

2

]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

， 

3π

4

]，所以當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，f(x)max=

2

-1；   …（10分）
當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）_min=-2，
故函數(shù)f（x）的取值范圍是[-2， 

2

-1]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確化簡函數(shù)．